İstifleme: Hizalama, Reddetme Algoritmaları ve Normalizasyon

İstifleme penceresinde tek bir düğmeye basıp beklemek mümkündür ve çoğu zaman kabul edilebilir bir sonuç da verir. Ne var ki o pencerede beş ayrı karar sizin adınıza alınır: kareler nasıl hizalanacak, hangi enterpolasyon çekirdeği kullanılacak, kareler birbirine nasıl normalize edilecek, hangi piksel değerleri dışarıda bırakılacak ve kareler hangi ağırlıkla toplanacak. Bu kararların her biri nihai karenin gürültüsünü ya da çözünürlüğünü ölçülebilir biçimde değiştirir.

Bu yazı o beş kararı sırayla ele alır. Her bölümde önce işlemin ne yaptığını, sonra bedelini, en sonunda da hangi koşulda hangi seçimin doğru olduğunu kuracağız. Kalibrasyonu Kalibrasyon kareleri yazısında bitirmiştik; buradaki her hesap kalibre edilmiş karelerle başlar.

---

Hizalama: Yıldız Eşleştirme ve Enterpolasyonun Bedeli

Hizalama iki adımdan oluşur. Birinci adımda yazılım her karede yıldızları bulur ve bu yıldız listelerini birbirine oturtacak dönüşümü arar. Bunun klasik yolu üçgen benzerliğidir: yıldız üçlülerinden kurulan üçgenlerin kenar oranları döndürmeden ve ölçekten bağımsız olduğu için iki listedeki eşleşen üçgenler doğrudan bulunabilir. Groth'un 1986'da yayımladığı bu yaklaşım bugün DeepSkyStacker, Siril ve PixInsight dahil olmak üzere hemen her yazılımın temelinde durur.

Bulunan dönüşüm çoğu zaman kesirli piksel içerir, çünkü iki karenin arasındaki kayma tam sayı olmak zorunda değildir. İkinci adımda işte bu kesirli kayma uygulanır ve her çıktı pikselinin değeri komşu giriş piksellerinden enterpolasyonla üretilir. Bedelin doğduğu yer de burasıdır.

Bilinear enterpolasyon iki komşuyu ağırlıklı olarak ortalar. Yarım piksellik bir kaydırmada ağırlıklar eşitlenir ve işlem yıldızı iki piksel genişliğinde bir çekirdekle bulanıklaştırmaya dönüşür. FWHM'i 2,5 piksel olan bir yıldızda bu bulanıklık genişliği yaklaşık %10 artırır; 1,5 piksele düşmüş az örneklenmiş bir yıldızda artış %27'ye çıkar.

Lanczos çekirdeği keskinliği çok daha iyi korur, buna karşılık negatif yan lobları vardır. Yarım piksellik kaydırmada Lanczos-3 ağırlıkları 0,608 ve −0,135 gibi değerler alır ve bu negatif katsayılar dar yıldızların çevresinde koyu bir halka bırakır. Örneklemesi yeterli bir yıldızda halka gözle görülmez, örneklemesi yetersiz bir yıldızda ise doğrudan görünür hale gelir.

Enterpolasyonun ikinci ve daha sinsi etkisi gürültü üzerindedir. Yarım piksellik bilinear kaydırma iki boyutta dört pikseli eşit ağırlıkla ortalar; bunun sonucunda ölçtüğünüz gürültü yarıya iner, oysa taşınan bilgi değişmez. Aynı hesap Lanczos-3 için 0,78 verir. Kısacası hizalanmış bir karede ölçülen gürültü gerçek gürültüden küçük görünür ve bu sapma Drizzle yazısındaki korelasyon katsayısıyla aynı kökten gelir.

---

Normalizasyon Neden Reddetmeden Önce Gelir

Bir gece boyunca çekilen kareler birbirinin kopyası değildir. Hedef yükseldikçe hava kütlesi azalır, ay doğar, incecik bir bulut geçer ve şehir ışığı gecenin ilerleyen saatinde söner. Bunun sonucunda aynı fiziksel piksel kareden kareye farklı bir taban değerde ve farklı bir ölçekte oturur.

Normalizasyon bu iki farkı giderir. Toplamsal bileşen karelerin gökfon seviyesini ortak bir tabana çeker, çarpımsal bileşen ise karelerin gürültü ölçeğini eşitler. Yaygın uygulamada ikisi birlikte kullanılır:

Sıralamanın neden değişemeyeceğini bir örnek açıkça gösterir. Kırk karenin otuzu 300 ADU gökfonla, onu ise ay doğduktan sonra 900 ADU gökfonla çekilmiş olsun. Normalize edilmemiş bir istifte tek bir pikselin kareler boyunca dağılımı iki tepeli çıkar ve bu dağılımın standart sapması piksel gürültüsünün kat kat üstündedir. Böyle bir dağılıma uygulanan sigma kırpma iki sonuçtan birini üretir: eşiği gevşek tutarsanız gerçek uydu izini kaçırırsınız, eşiği sıkı tutarsanız parlak karelerin tamamını reddedersiniz.

Normalize edildikten sonra aynı dağılım tek tepeli hale gelir ve genişliğini yeniden piksel gürültüsü belirler. Reddetme ancak bu noktada anlamlı bir iş yapar. PixInsight bu ayrımı arayüzünde de görünür kılar ve çıktı normalizasyonu ile reddetme normalizasyonunu ayrı ayrı sorar; ikincisi için önerdiği seçenek "scale + zero offset" seçeneğidir.

---

Reddetme Algoritmaları ve Kaç Karede Çalıştıkları

Reddetme, her çıktı pikseli için karelerden gelen N değere bakar ve bunların içinden aykırı olanları toplama katmadan atar. Yöntemlerin hepsi aynı soruyu sorar, farkları merkezi ve dağılımı nasıl ölçtüklerindedir. Seçimi belirleyen tek başına zevk değildir, çünkü küçük kare sayılarında bazı yöntemler matematiksel olarak çalışamaz.

Bunun en net örneği sigma kırpmadır. N değerden oluşan bir örneklemde, ortalamadan en uzaktaki değerin örnek standart sapması cinsinden sapması aşağıdaki sınırı aşamaz:

Buradan doğrudan bir sonuç çıkar. On kareniz varsa ve eşiği 3 sigmaya kurduysanız, o eşik hiçbir zaman aşılamayacağı için istifinize hiçbir reddetme uygulanmaz. Üç sigmanın anlamlı hale gelmesi için en az onbir kare gerekir. Yazılımların "sigma kırpma için en az on kare" tavsiyesinin arkasındaki sebep de budur.

Tablodaki kare sayıları katı sınırlar değil, yazılım belgelerinin ve pratiğin buluştuğu aralıklardır. PixInsight kendi belgelerinde benzer bir gruplama yapar, Siril ise aynı algoritmaları neredeyse aynı adlarla sunar.

Winsorized sigma kırpmanın neden ayrı bir yeri olduğunu tek bir mekanizma açıklar. Klasik sigma kırpmada dağılım ölçüsü, içinde aykırı değerin kendisi de bulunan veriden hesaplanır. Güçlü bir aykırı bu ölçüyü şişirir ve şişmiş bir sigmaya bölünen sapma eşiğin altında kalır; aykırı değer böylece kendi kendini saklar. Winsorization uçtaki değerleri kesme noktasındaki değerlerle değiştirerek sigmayı bu etkiden arındırır.

---

Sigma Eşiği: Temizlik ile Bedel Arasındaki Denge

Eşiği düşürmek daha çok aykırı yakalar, buna karşılık gerçek veriyi de atmaya başlar. Gauss dağılımlı temiz bir veride 3 sigma eşiği örneklerin binde 2,7'sini atar ve nihai gürültüyü on binde 2 artırır; bu bedel ölçülemeyecek kadar küçüktür. Eşiği 2 sigmaya çektiğinizde atılan örnek oranı %4,6'ya, gürültü artışı ise %0,5'e çıkar. 1 sigmada ise örneklerin üçte biri gider ve gürültü %5,2 artar.

Sayılara bakınca 3 sigmanın neden neredeyse her yerde varsayılan olduğu anlaşılır. Buna karşılık eşiği yükseltmenin de bir bedeli vardır, çünkü zayıf uydu izleri ve sönük uçak izleri eşiğin altında kalıp istifte iz bırakır. Doğru eşik, aykırınızın gücüne ve kare sayınıza birlikte bağlıdır.

---

Reddetme Neyi Temizler, Neyi Temizleyemez

Reddetme bir çıktı pikselinin kareler boyunca aldığı değerlere bakar ve çoğunluğa uymayanı atar. Dolayısıyla bir kusurun temizlenebilmesi için tek şart vardır: o kusurun karelerin küçük bir azınlığında görünmesi gerekir.

Tablodaki ayrımın tamamı tek bir cümleye iner. Uydu izi sensöre değil gökyüzüne göre hareket eder, sıcak piksel ise sensöre çivilenmiştir. Kareler hizalandığında gökyüzü sabitlenir, sensör ise kayar; bu yüzden uydu izi tek bir çıktı pikselinde bir kez görünür, sıcak piksel ise koşullara bağlı olarak ya her karede aynı çıktı pikseline düşer ya da dağılır.

Dithering'in yaptığı iş tam olarak bu dağıtmadır. Her kare arasında montürü birkaç piksel kaydırdığınızda sıcak piksel çıktı ızgarasında her seferinde başka bir yere denk gelir. Otuz karelik bir istifte belli bir çıktı pikseline yalnızca bir kez düşer ve o pikselde artık açık bir aykırı değer olur. Dithering yapılmamışsa aynı sıcak piksel otuz karenin otuzunda da aynı yere düşer, çoğunluğu oluşturur ve hiçbir reddetme algoritması onu göremez.

Aynı mantık gezen gürültü için de geçerlidir. Kalibrasyondan artakalan sabit desen, takip sürüklenmesiyle yavaşça kayarken istifte yıldızlara benzemeyen kısa izler bırakır. Dithering bu deseni kareler arasında ilişkisiz hale getirir ve desen √N ile erimeye başlar. Konuyu Guiding yazısında dithering aralığı tarafından ele almıştık.

---

Ortalama, Medyan ve Kırpılmış Ortalama

Medyan aykırı değerlere karşı dayanıklıdır ve hiçbir eşik ayarı istemez. Bu rahatlığın bedeli gürültüdedir: Gauss dağılımlı veride medyanın standart hatası, büyük kare sayısında ortalamanınkinin √(π/2) yani yaklaşık 1,25 katıdır. Üç karede oran 1,16, beş karede 1,20, yirmi karede 1,24 civarındadır.

Bu farkı süreye çevirmek kararı kolaylaştırır. Gürültüyü kare sayısının kareköküyle düşürdüğünüz için 1,25 katlık bir ceza, aynı sonuca ulaşmak adına %57 daha fazla kare demektir. Dört saatlik bir çekim altı saatlik bir çekime dönüşür ve bu, hiçbir aykırı değer bulunmayan bir veride ödenen tamamen boş bir bedeldir.

Kırpılmış ortalama iki uçtan da uzak durur. Aykırı değerleri atar, kalan veriyi ise ortalar ve bu sayede gürültü cezası neredeyse sıfıra iner. Medyan yalnızca iki durumda savunulabilir: kare sayınız reddetme algoritmalarının çalışamayacağı kadar azsa ya da verinizde ne yapacağını kestiremediğiniz bir bozulma varsa.

---

Ağırlıklandırma ve Kare Eleme

Kareler eşit kalitede değildir, dolayısıyla toplamada eşit söz hakkı almaları için de bir sebep yoktur. Gürültüsü σᵢ olan bir kareye verilecek en iyi ağırlık 1/σᵢ² değeridir ve bu ağırlıklarla toplanan istifin sinyal-gürültü oranı basit bir ifadeye iner:

Bu formülün pratikteki karşılığı önemlidir. Ağırlıklandırma açıkken kötü bir kareyi istiften atmak toplam sinyal-gürültü oranını her zaman düşürür, çünkü o karenin katkısı küçük olsa bile pozitiftir. Kare elemenin gerekçesi bu yüzden gürültü değildir; gerekçe çözünürlüktür, yıldız biçimidir ve reddetme istatistiğini bozan kareleri ayıklamaktır.

İstifin FWHM'i neden karelerin ortalaması değildir?

Kareleri topladığınızda yıldız profilleri birbiriyle evrişmez, üst üste toplanır. Bunun sonucunda oluşan bileşke profil, tek tek profillerin ağırlıklı toplamıdır ve tepesi dar karelerden, etekleri ise geniş karelerden gelir. Bileşke profilin FWHM'i bu yüzden karelerin FWHM ortalamasından biraz küçük çıkar, buna karşılık etekleri Gauss profilinden daha kalın olur.

Pratik sonucu şudur: birkaç kötü kare yıldızlarınızın yarı yüksekliğini pek değiştirmez, ama parlak yıldızların çevresinde soluk bir hale bırakır. Kare elemenin gözle görülür kazancı çoğu zaman FWHM sayısında değil, işte bu eteklerde ortaya çıkar.

---

Yazılımlar Arasındaki Adlandırma Farkları

Aynı algoritmalar yazılımdan yazılıma farklı adlarla karşınıza çıkar ve bu, rehberleri karşılaştırırken kafa karıştırır.

Astro Pixel Processor aynı aileyi kendi arayüzünde toplar ve normalizasyon tarafında LNC ile MBB adlarını kullanır. ASTAP ise yalnızca sigma kırpma sunar. Bir rehberdeki ayarı kendi yazılımınıza taşırken adlandırmaya değil, algoritmanın ne yaptığına bakın.

---

Kaynaklar

• Edward J. Groth, "A pattern-matching algorithm for two-dimensional coordinate lists", The Astronomical Journal 91, 1244 (1986). Üçgen eşleştirmenin özgün kaynağı.
• Bernard Rosner, "Percentage Points for a Generalized ESD Many-Outlier Procedure", Technometrics 25, 165 (1983).
• Frank E. Grubbs, "Procedures for Detecting Outlying Observations in Samples", Technometrics 11, 1 (1969).
• Peter J. Huber ve Elvezio M. Ronchetti, Robust Statistics, 2. baskı, Wiley. Winsorization ve kırpılmış ortalamanın istatistik temeli.
• Richard Berry ve James Burnell, The Handbook of Astronomical Image Processing. İstifleme ve eleme algoritmalarının astronomi tarafındaki karşılığı.
• PixInsight ImageIntegration belgeleri. Reddetme algoritmalarını ve önerilen kare aralıklarını tanımlar.
• PixInsight StarAlignment belgeleri. Enterpolasyon çekirdekleri ve kırpma eşiği burada anlatılır.
• Siril istifleme ve Siril hizalama belgeleri.
• DeepSkyStacker teknik belgeleri. Kappa-Sigma adlandırmasının kaynağı.
• Astro Pixel Processor. LNC ve MBB adlandırması için.
• Bu serideki Kalibrasyon kareleri, Drizzle ve Guiding yazıları.